L’effetto Un modello è una riproduzione semplificata della realtà,

L’effetto farfalla in conclusione, sottolinea come
nella maggior parte dei sistemi biologici, chimici, fisici, economici e
sociali, esistano degli elementi che, apparentemente insignificanti, sono in
grado, interagendo fra loro, di propagarsi e amplificarsi provocando effetti
catastrofici.

Questi elementi, sia perché trascurati e sia perché
imprevedibili e non individuabili, costituiscono il dilemma del nostro secolo
giacché, come abbiamo visto, possono condurci a conclusioni errate; ecco il
motivo per cui molto spesso, ad esempio, per spiegare il comportamento di un
sistema come la crescita della popolazione, l’eutrofizzazione delle coste
marine, o le variazioni climatiche, si ricorre ad un modello.

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Un modello è una riproduzione semplificata della
realtà, ossia un’astrazione che considera solamente le principali
caratteristiche di quello che è il reale oggetto di studio.

Tuttavia, un modello, sebbene possa sembrare
limitato, in quanto non riproduce completamente la realtà, permette di
esaminare gli aspetti più importanti di un problema.

Se considerassimo tutti i dettagli di un problema,
ottenendo quello che si definisce una simulazione come quella meteorologica, ci
troveremmo ad affrontare un insieme di dati difficilmente correlabili tra loro
e quindi la loro analisi ci sarebbe impossibile o di utilità limitata rispetto
all’analisi di brevi periodi, come appunto per le simulazioni climatiche.

Come abbiamo visto, un modello non può offrire
garanzie di sicurezza assoluta ma è comunque un indispensabile strumento per il
progresso della scienza e della tecnologia.

Dalla scoperta di Lorenz molto cammino è stato
compiuto in tutte le branche del sapere. Tra tutte le definizioni create sul
1900, una sembra la più significativa: il 1900 è il secolo delle rivoluzioni e,
in tale contesto, dopo la relatività e la meccanica quantistica, la rivoluzione
più importante è la scoperta della teoria del Caos.

Essa ha investito spazi diversi come quello dei
matematici, dei fisici, dagli studiosi della meccanica dei liquidi, agli
astronomi, dei chimici e degli studiosi di etologia, degli informatici e di
quanti si occupano di crittografia, dei cardiologi, degli analisti, dei
chirurghi, degli studiosi del comportamento nell’organizzazione aziendale,
nella comunicazione o nella geriatria.

In tutte le discipline lo studio del Caos ha dato
conferme sorprendenti e sorprendenti ne sono state finora le conseguenze
applicative.

Gli studi di tutti gli scienziati dimostrano che il
comportamento naturale dei fenomeni è non lineare, anzi ci dicono che la vita stessa
è possibile perché c’è il caos; ecco perché ci si riferisce alla teoria del caos
quando si affrontano problemi legati a sistemi dinamici non lineari.

La maggior parte dei fenomeni naturali ed umani non incedono
con ritmi che si ripetono, ma, dopo un periodo regolare, presentano in modo
inaspettato una cosiddetta “biforcazione”
in un determinato punto definito “punto
critico” che si moltiplica fino a generare una turbolenza.

Un flusso regolare si scompone in vortici e
mulinelli, le strutture irregolari interrompono la continuità del confine tra
fluido e solido e la turbolenza genera entropia (mescolanza, disordine,
causalità) per cui le parti scomposte non fuggono via ma restano vicini, pur
seguendo regole proprie.

Ciò avviene per un fenomeno che dà luogo ai
cosiddetti “attrattori strani” in
cui si mescola ordine e disordine, rendendo, pur nella complessità, misurabile
l’entropia e dunque la turbolenza si produce restando all’interno di una fase.

Gli studiosi si sono occupati di tale questione, non
solo per interessi matematici o speculativi, ma per risolvere problemi
concreti, come la cura delle cardiopatie gravi, aritmie, o la stabilità del
volo degli aerei.

Alla fine dell’intero processo si produce
un’autorganizzazione in una situazione nuova, che a sua volta può riprodurre un
altro momento caotico e così via e ciò, come abbiamo già detto, non è prevedibile,
sebbene la dinamica del sistema sia rigorosa e deterministica. Lo sviluppo così
veloce dei computer che consentono migliaia e migliaia di calcoli fa ogni
giorno progredire lo studio di tale materia; nella vita della natura pochi sono
i fenomeni lineari, mentre quelli caotici dominano in quanto caotiche sono le
nuvole, i fiocchi di neve e le cascate, sono caotici i liquidi nella loro
dinamica, dunque è caotico il movimento del cuore, che è la pompa del sangue,
contrariamente a quanto si pensava, un cuore sano ha ritmo caotico, mentre in
un cuore malato il ritmo appare sempre più regolare per cui la salute è più
associabile al caos mentre la malattia alla linearità.

 

 

 

 

 

 

1.3
Caratteristiche dei sistemi dinamici

 

La natura dinamica di alcuni sistemi li rendono
applicabili a molti problemi di economia, management e finanza come ad esempio a
questioni legate a tassi di interesse, parametri macroeconomici (PIL, tasso di disoccupazione,
ecc.) fatturato o profitto di un azienda, costi in generale o questioni di
natura demografica.

Tali problemi possono essere compresi studiando
l’evoluzione nel tempo di determinate variabili chiamate variabili di stato.

Un sistema dinamico descrive, attraverso un modello
matematico, una situazione mutevole in rapporto ad un determinato lasso
temporale; in ogni sistema dinamico si osservano e si studiano un numero finito
di quantità rappresentate da un vettore di n variabili che operano in un
sottoinsieme dello spazio vettoriale ?n detto spazio degli stati ed è
funzione di un parametro reale non negativo del tempo.

Convenzionalmente si indica lo spazio degli stati con
W? ?n e l’oggetto matematico che si vuole
determinare in un sistema dinamico di cui è una funzione.

La legge che regola un sistema dinamico esprime la
variazione nel tempo degli stati osservati e più precisamente, un sistema
dinamico è identificato tramite una relazione algebrica che considera il tempo t, il valore delle singole componenti
del vettore X(t) e la derivata rispetto al tempo della funzione vettoriale t?X(t).

E quindi, a prescindere dalla natura del sistema
considerato, il sistema rappresentato dal suddetto vettore può essere pensato
come un punto geometrico riferito agli assi di un riferimento cartesiano, in
cui le coordinate corrispondono ai valori delle variabili di stato. Così, lo
stato di una popolazione di insetti può essere rappresentato in uno spazio
unidimensionale (una semiretta, dato che la numerosità della popolazione può
assumere solo valori non negativi).

Lo stato di un pendolo semplice è rappresentato da
un punto in uno spazio bidimensionale (un piano cartesiano) riportando sugli
assi il valore dello spostamento angolare rispetto alla verticale e il valore
della velocità angolare.

L’insieme di tutti i possibili vettori di stato è
detto spazio delle fasi del sistema dinamico.

Gli ingredienti tipici di un modello dinamico sono:

·        
Una condizione
iniziale ovvero il valore della variabile x in un dato tempo t0;

·        
La dinamica
ovvero l’evoluzione di x che esprime la relazione tra la variabile di
stato ed il suo tasso di crescita.

 

Sistema dinamico nel continuo

 

Nei modelli dinamici nel continuo la variabile tempo
t varia in un intervallo dell’asse reale che si può identificare con 0, +?) e
in tal caso la funzione t? x(t) t?
0, +?) che descrive l’evoluzione della variabile di stato nel tempo è una
funzione reale di variabile reale.

L’informazione su un sistema dinamico continuo in un
aperto W? ?n (spazio degli stati) si traduce in
un’equazione differenziale ordinaria vettoriale in ?n in forma
normale e autonoma (cioè con secondo membro indipendente dal tempo) del tipo:

 

Dove F: W?
?n è un campo vettoriale differenziabile del prim’ordine (quindi di
classe C1) in quanto
appare solo la derivata prima della variabile di stato: X'(t)=ƒ(t, x(t)) con x(0) come condizione iniziale.

Un’orbita, o anche definibile come soluzione di un
sistema dinamico, è quindi una funzione del tipo 0, +?) ? t?X(t)?W che soddisfa l’equazione differenziale dX/dt=F(X)
appunto.

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